数学真是一个奇怪的东西，我们早就知道了各种美妙的数学思想，以及抽象美带来的震撼。前两天，我看到一个关于数学命题证明的小故事，再一次地刷新了我对于数学思想的认识。

我们都知道，数学证明中有一种方法叫反证法，就是通过是否能找出一个反例，来证明一个命题的正确性。但是，这次说的是，我们找不到反例，但依然能够用反证法来证明一个命题。我简单地描述一下这个命题，然后用我自己理解的方式来讲述一下这个证明过程（如果证明错了，责任全在我，原来的数学思想应该是正确的 😉）

命题

请判断并证明：一个无理数的无理数次幂，一定是无理数。

解释

无理数就是无限不循环小数，比如 \(\pi\), \(e\), ……, 等等。由于无理数无法精确得到所有数值，所以一个无理数的无理数次幂，除了少数情况外，是无法准确得到所有数值的。比如，\(\pi^{\pi}\)，它的前 30 位数值是：36.4621596072079117709908260227。我们根本无法从中判断，最后的数值是否是一个有理数，还是仍然为无理数。

证明

我们用反证法来证明此命题，即假设原命题是成立的。

首先，我们构造一个无理数的无理数次幂： \(x = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}\), 这个数值有两种情况：

  1. \(x\) 为有理数
  2. \(x\) 为无理数

对于结果1，那命题当然就错了，因为我们找到了一个无理数的无理数次幂为有理数。我们用反证法来判断情况2，我们继续构造一个新的数： \(y = x^{\sqrt{2}}\), 运算可得：

\(y = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}^2 = 2 \)

由于 \(x\) 为无理数，根据假设，\(y\) 也应该是无理数，但现在我们得到了一个有理数 \(2\)，所以假设不成立，结论应该是，无理数的无理数次幂，不一定是无理数。

说明

这里，最奇妙的就是，我们虽然构造了一个无理数的无理数次幂：\(\sqrt{2}^{\sqrt{2} }\)，但是我们并没有实际求出来这个数，也完全没有证明，这个数到底是无理数还是有理数。也就是说，我们用了反证法，但是并没有实际找到一个反例，就证明了原来的命题不成立。

啊，多么奇妙的数学思想啊。

P.S.

大家可能有点好奇，到底 \(\sqrt{2}^{\sqrt{2} }\) 是不是有理数啊。我用心爱的 Wolfram 计算了一下前 1000 位数值，你们猜，它到底是不是有理数？😜

\(\sqrt{2}^{\sqrt{2} } = \)

1.632526919438152844773495381024719602079108857053 11411724778068438303520599861664224785550750662 60414230011620076508762926586855535678286653743 53276990370339509808349458727844365578417316013 87397734571771945017640579176808540612696970706 77170888211473865443716121182725324216022231689 35434603655006804958808606092092531292648747441 39100350665100223159724526414595020972636096696 48057571699115982318026242029527507671359747631 50951814992616526918951905735917879441942227750 48361947119473707135051457034779869040074304850 86049086756447969815057362491879184271662118777 21616761344994650906881387122735130101636571052 64559906025136865172262615799791196913108286037 30870686736120983480646071979524565988415556211 89979103761174458226636201867544028322841005469 75220327810489296271028397543501936633946445408 54828542034506598152799747777276307577783001254 46163190919411727134856477923053227331124570871 94322830350968985979373357020305196153528119081 54595746674092743048895923198652644685232660662 62013475716